Question

已知函數f（x）=plnx+（p-1）x²+1．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）當P=1時，f（x）≤kx恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）證明：1n（n+1）＜1+…+（n∈N⁺）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導數來討論函數的單調性即可，具體的步驟是：（1）確定 f（x）的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數 的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定 的單調區(qū)間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．（2）當P=1時，f（x）≤kx恒成立，分離參數等價于k≥，利用導數求函數h（x）=的最大值即可求得實數k的取值范圍；（3）由（2）知，當k=1時，有f（x）≤x，當x＞1時，f（x）＜x，即lnx＜x-1，令x=，則得到，利用導數的運算法則進行化簡，然后再相加，即可證得結論．
解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=，
當p＞1時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當p≤0時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
當0＜p＜1時，令f′（x）=0，解得x=．
則當x時，f′（x）＞0；x時，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，）上單調遞增，在上單調遞減；
（2）∵x＞0，
∴當p=1時，f（x）≤kx恒成立?1+lnx≤kx?k≥，
令h（x）=，則k≥h（x）_max，
∵h′（x）==0，得x=1，
且當x∈（0，1），h′（x）＞0；當x∈（1，+∞），h′（x）＜0；
所以h（x）在0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
所以h（x）_max=h（1）=1，
故k≥1．
（3）由（2）知，當k=1時，有f（x）≤x，當x＞1時，f（x）＜x，即lnx＜x-1，
∴令x=，則，即，
∴l(xiāng)n2-ln1＜1，，
相加得1n（n+1）＜1+…+．
點評：此題是個難題．本題主要考查導數的概念、利用導數研究函數的單調性、利用函數的單調性證明不等式和利用導數研究函數性質的能力，考查分類討論思想、數形結合思想和等價變換思想．