【題目】在三棱錐 中,底面 是邊長為 2 的正三角形,頂點 在底面上的射影為的中心,若的中點,且直線與底面所成角的正切值為,則三棱錐外接球的表面積為( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】定點A在底面BCD上的射影為三角形BCD的中心,

而且底面BCD是正三角形,

三棱錐A﹣BCD是正三棱錐,∴AB=AC=AD,

令底面三角形BCD的重心(即中心)為P,

底面BCD為邊長為2的正三角形,DEBC邊上的高,

DE=,PE=,DP=

直線AE與底面BCD所成角的正切值為2,即

AP=

∵AD2=AP2+DP2(勾股定理),∴AD=2,于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2,

三棱錐為正四面體,構造正方體,由面上的對角線構成正四面體,故正方體的棱長為

正方體的對角線長為,外接球的半徑為.

外接球的表面積=4πr2=6π.

故選D.

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