Question

18．設(shè)${（1+\frac{1}{2}x）^m}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_m}{x^m}$，若a₀，a₁，a₂成等差數(shù)列．
（1）求${（1+\frac{1}{2}x）^m}$展開式的中間項；
（2）求${（1+\frac{1}{2}x）^m}$展開式中所有含x奇次冪的系數(shù)和；
（3）求${（1+\frac{1}{2}x）^{m+6}}$展開式中系數(shù)最大項．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二項展開式的通項公式，求得a₀、a₁、a₂的值，再根據(jù)2a₁=a₀+a₂得到n的值．
（2）在所給的式子中，分別令x=1、x=-1得到2個式子，把這2個式子變形可得展開式中所有含x奇次冪的系數(shù)和．
（3）假設(shè)第r+1項的系數(shù)為${T_{r+1}}=C_{14}^r{（\frac{1}{2}）^r}$，令$\left\{\begin{array}{l}{T_{r+1}}≥{T_r}\\{T_{r+1}}≥{T_{r+2}}\end{array}\right.$，由此求得r的范圍，可得r的值，從而求得系數(shù)最大項．

解答 19．解：（1）依題意得  ${T_{r+1}}=C_m^r{（\frac{1}{2}）^r}{x^r}$，r=0，1，…m．
則a₀=1，${a_1}=\frac{m}{2}$，${a_2}={C_m}^2{（\frac{1}{2}）^2}$，
由2a₁=a₀+a₂得m²-9m+8=0可得m=1（舍去），或m=8．
所以${（1+\frac{1}{2}x）^m}$展開式的中間項是第五項為：${T_5}=C_8^4{（\frac{1}{2}x）^4}=\frac{35}{8}{x^4}$．
（2）${（1+\frac{1}{2}x）^m}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_m}{x^m}$，
即${（1+\frac{1}{2}x）^8}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_8}{x^8}$．
令x=1則${a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_8}={（\frac{3}{2}）^8}$，
令x=-1則${a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+…+{a_8}={（\frac{1}{2}）^8}$，
所以 ${a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}=\frac{{{3^8}-1}}{2^9}=\frac{205}{16}$，所以展開式中含x的奇次冪的系數(shù)和為$\frac{205}{16}$．
（3）假設(shè)第r+1項的系數(shù)為${T_{r+1}}=C_{14}^r{（\frac{1}{2}）^r}$，令$\left\{\begin{array}{l}{T_{r+1}}≥{T_r}\\{T_{r+1}}≥{T_{r+2}}\end{array}\right.$解得：4≤r≤5，
所以展開式中系數(shù)最大項為${T_5}=\frac{1001}{16}{x^4}$和${T_6}=\frac{1001}{16}{x^5}$．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)．注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題．