【題目】若曲線f(x)= (e﹣1<x<e2﹣1)和g(x)=﹣x3+x2(x<0)上分別存在點A、B,使得△OAB是以原點O為直角頂點的直角三角形,且斜邊AB的中點在y軸上,則實數(shù)a的取值范圍是(
A.(e,e2
B.(e,
C.(1,e2
D.[1,e)

【答案】B
【解析】解:設A(x1 , y1),y1=f(x1)= ,B(x2 , y2),y2=g(x2)=﹣x23+x22(x<0), 則 =0,x2=﹣x1 , ∴
,
由題意, ,即 =0,

∵e﹣1<x1<e2﹣1,
,

設h(x)= ,則h′(x)= ,
∵e﹣1<x<e2﹣1,
∴h′(x)>0,
即函數(shù)h(x)= 在(e﹣1<x<e2﹣1)上為增函數(shù),
,
即e<a<
∴實數(shù)a的取值范圍是(e, ).
故選:B.
由題意設出A,B的坐標,代入函數(shù)解析式,利用中點坐標公式把B的坐標用A的坐標表示,由 可得關于A的橫坐標的方程,分離參數(shù)a后構造函數(shù)h(x)= ,利用導數(shù)求其在(e﹣1<x<e2﹣1)上的單調性,得到函數(shù)的值域得答案.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知中心在原點,焦點在軸上,離心率為的橢圓過點.

(1)求橢圓方程;

(2)設不過原點O的直線,與該橢圓交于P、Q兩點,直線OP、OQ的斜率依次為,滿足,求的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】《九章算術》中,將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖,在陽馬P﹣ABCD中,側棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點E,作EF⊥PB交PB于點F,連接DE,DF,BD,BE.
(1)證明:PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結論);若不是,說明理由;
(2)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 ,求 的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】17世紀日本數(shù)學家們對這個數(shù)學關于體積方法的問題還不了解,他們將體積公式“V=kD3”中的常數(shù)k稱為“立圓術”或“玉積率”,創(chuàng)用了求“玉積率”的獨特方法“會玉術”,其中,D為直徑,類似地,對于等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱叫做等邊圓柱)、正方體也有類似的體積公式V=kD3 , 其中,在等邊圓柱中,D表示底面圓的直徑;在正方體中,D表示棱長,假設運用此“會玉術”,求得的球、等邊圓柱、正方體的“玉積率”分別為k1 , k2 , k3=(
A. :1
B. :2
C.1:3:
D.1:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=|3x﹣1|﹣2|x|+2.
(1)解不等式:f(x)<10;
(2)若對任意的實數(shù)x,f(x)﹣|x|≤a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC= ,點E在AD上,且AE=2ED. (Ⅰ)已知點F在BC上,且CF=2FB,求證:平面PEF⊥平面PAC;
(Ⅱ)當二面角A﹣PB﹣E的余弦值為多少時,直線PC與平面PAB所成的角為45°?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】公元前3世紀,古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出:“球的體積(V)與它的直徑(d)的立方成正比”,此即V=kd3 , 與此類似,我們可以得到: ⑴正四面體(所有棱長都相等的四面體)的體積(V)與它的棱長(a)的立方成正比,即V=ma3;
⑵正方體的體積(V)與它的棱長(a)的立方成正比,即V=na3;
⑶正八面體(所有棱長都相等的八面體)的體積(V)與它的棱長(a)的立方成正比,即V=ta3;
那么m:n:t=(
A.1:6 :4
B. :12:16
C. :1:
D. :6:4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為調查高中生的數(shù)學成績與學生自主學習時間之間的相關關系,某重點高中數(shù)學教師對新入學的45名學生進行了跟蹤調查,其中每周自主做數(shù)學題的時間不少于15小時的有19人,余下的人中,在高三模擬考試中數(shù)學平均成績不足120分的占 ,統(tǒng)計成績后,得到如下的2×2列聯(lián)表:

分數(shù)大于等于120分

分數(shù)不足120分

合 計

周做題時間不少于15小時

4

19

周做題時間不足15小時

合 計

45

(Ⅰ)請完成上面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“高中生的數(shù)學成績與學生自主學習時間有關”;
(Ⅱ)(i) 按照分層抽樣的方法,在上述樣本中,從分數(shù)大于等于120分和分數(shù)不足120分的兩組學生中抽取9名學生,設抽到的不足120分且周做題時間不足15小時的人數(shù)是X,求X的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);
(ii) 若將頻率視為概率,從全校大于等于120分的學生中隨機抽取20人,求這些人中周做題時間不少于15小時的人數(shù)的期望和方差.
附:

P(K2≥k0

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在(1,+∞)上單調遞增的為(
A.y=ln(x2+1)
B.y=cosx
C.y=x﹣lnx
D.y=( |x|

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