Question

【題目】已知圓O：x2+y2＝3，直線PA與圓O相切于點(diǎn)A，直線PB垂直y軸于點(diǎn)B，且|PB|＝2|PA|.

（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（1，0）且與x軸不重合的直線與軌跡E相交于P，Q兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)D，使得x軸是∠PDQ的角平分線，若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定點(diǎn)D（4，0）

【解析】

（1）設(shè)P（x，y），根據(jù)直線PA與圓O相切于點(diǎn)A，利用切線長(zhǎng)公式得到|PA|2＝x2+y2﹣3，|再根據(jù)直線PB垂直y軸于點(diǎn)B，得到|PB|2＝x2，然后由|PB|＝2|PA|求解.

（2）設(shè)直線l的方程為：x＝my+1，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到，，代入kPD+kQD＝0，化簡(jiǎn)整理得，解得x0即可.

（1）設(shè)P（x，y），因?yàn)橹本�PA與圓O相切于點(diǎn)A，

所以|PA|2＝|PO|2﹣3＝x2+y2﹣3，|

又因?yàn)橹本�PB垂直y軸于點(diǎn)B，

所以|PB|2＝x2，

又因?yàn)?/span>|PB|＝2|PA|

所以x2+y2﹣3＝x2，

即x2＝4（x2+y2﹣3），

化簡(jiǎn)得，

∴點(diǎn)P的軌跡E的方程為：；

（2）設(shè)直線l的方程為：x＝my+1，P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯(lián)立方程，整理得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，

∴，，

假設(shè)存在定點(diǎn)D（x0，0），使得x軸是∠PDQ的角平分線，則kPD+kQD＝0，

∴，

∴，

∴，

∴，

即，

解得：x0＝4，

所以存在定點(diǎn)D（4，0），使得x軸是∠PDQ的角平分線.