Question

已知函數(shù)f（x）=x²+m，其中m∈R，定義數(shù)列{a_n}如下：a₁=0，a_n+1=f（a_n），n∈N*．
（1）當(dāng)m=1時，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使a₂，a₃，a₄成等比數(shù)列？若存在，請求出實(shí)數(shù)m的值，并求出等比數(shù)列的公比；若不存在，請說明理由．
（3）設(shè)m=-1，f^-1（x）為f（x）在x∈[0，+∞）的反函數(shù)，數(shù)列{b_n}滿足：b₁=1，b_n+1=f^-1（b_n²）（n∈N*），記S_n=b₁²+b₂²+…+b_n²，求使S_n＞2010成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系直接代入即可求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）此題的關(guān)鍵是運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)a₃²=a₂•a₄，求出m的值，再根據(jù)相鄰兩項(xiàng)的比值求出等比數(shù)列的公比．
（3）首先求出反函數(shù)，再據(jù)數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系推出數(shù)列{b_n²}是等差數(shù)列，就可以求出S_n，最后求出滿足S_n＞2010的最小正整數(shù)n的值．

解答：解：（1）當(dāng)m=1時，則f（x）=x²+1
∵a_n+1=f（a_n），a₁=0
∴a₂=f（a₁）=f（0）=1，a₃=f（a₂）=2，a₄=f（a₃）=5
∴a₂=1，a₃=2，a₄=5

（2）∵a_n+1=f（a_n），f（x）=x²+m
∴a₂=f（a₁）=f（0）=m，a₃=f（a₂）=m²+m，a₄=f（a₃）=（m²+m）²+m=m⁴+2m³+m²+m
∵a₂，a₃，a₄成等比數(shù)列
∴（m²+m）²=m（m⁴+2m³+m²+m）
即m⁴+2m³+m²=m⁵+2m⁴+m³+m²
∴m⁵+m⁴-m³=m³（m²+m-1）=0
又∵a₂=m≠0
∴m²+m-1=0
∴m=

-1+ 5

2

或m=

-1- 5

2

當(dāng)m=

-1+ 5

2

時，數(shù)列的公比q=

a3

a2

=

m2+m

m

=m+1=

1+ 5

2

當(dāng)m=

-1- 5

2

，數(shù)列的公比q=

1- 5

2

（3）∵f（x）=x²-1，x∈[0，+∞）
∴f-1(x)=

x+1

（x≥-1）
又∵bn+1=

b 2 n +1

∴b_n+1²=b_n²+1
∵b₁=1
∴b₁²=1，
∴b_n²是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
∴b_n²=n
∵S_n=b₁²+b₂²+…+b_n²
∴Sn=1+2++n=

n(n+1)

2

∵S_n＞2010，即

n(n+1)

2

＞2010
∴解得n≥63
∴所求的最小正整數(shù)n的值是63．

點(diǎn)評：本題綜合考查了數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系，同時考查了等比數(shù)列的性質(zhì)以及反函數(shù)的求法；同時注意根據(jù)b_n+1²=b_n²+1，可以看出{b_n²}是等差數(shù)列，是解題的關(guān)鍵．