Question

【題目】已知線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，且∣AB∣=2．

（1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）求過(guò)點(diǎn)M(1，2)且和軌跡C相切的直線方程．

Answer 1

【答案】(1)x2+y2=1(2) x=1或3x-4y+5=0

【解析】本題考查點(diǎn)軌跡方程的求法，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意考慮切線的斜率不存在的情況，這是易錯(cuò)點(diǎn)

（1）設(shè)P（x，y），由|AB|=2，且P為AB的中點(diǎn)，可得|OP|=1，由兩點(diǎn)間的距離公式求得點(diǎn)P的軌跡方程．

（2）①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，由條件易得x=1符合條件；②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)出切線方程，由切線的性質(zhì)可解得斜率k的值，用點(diǎn)斜式求得切線方程．

解: (1) 方法一：設(shè)P(x , y ),

∵∣AB∣=2,且P為AB的中點(diǎn)，

∴∣OP∣=1 ……………………2分

∴點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=1． ……………………4分

方法二：設(shè)P(x , y )， ∵P為AB的中點(diǎn)，

∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ), ………………………2分

又∵∣AB∣=2 ∴(2x)2+(2y)2=2

化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2+y2=1． ……………4分

(2) ①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=1,

由條件易得 x=1符合條件; ………………5分

②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為 y-2=k(x-1) 即kx-y+2-k=0

由得k=, ∴切線方程為y-2= (x-1)

即 3x-4y+5=0

綜上，過(guò)點(diǎn)M(1，2)且和軌跡C相切的直線方程為：

x=1 或3x-4y+5=0 ……………………8分