Question

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，若|f(x)|≤|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f(x)為Ω函數(shù)．

(I)試判斷函數(shù)f₁(x)＝xsinx、和中哪些是Ω函數(shù)，并說明理由；

(II)若函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對一切實數(shù)x₁、x₂，均有|f(x₁)－f(x₂)|≤|x₁－x₂|，求證：函數(shù)f(x)一定是Ω函數(shù)；

(III)求證：若a＞1，則函數(shù)f(x)＝ln(x²＋a)－lna是Ω函數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(I)∵ 　　∴是函數(shù)；　　1分 　　∵，∴不滿足 　　∴不是函數(shù)；　　3分 　　當時，，顯然符合條件； 　　當時，， 　　∴是函數(shù)．　　4分 　　(II)∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù) 　　∴即．　　5分 　　∴即， 　　∴函數(shù)一定是函數(shù)．　　7分 　　(III)設(shè)，則． 　�、佼�時， 　　∵，∴， 　　當時，， 　　∴當時，． 　　∴在上減函數(shù)，．又 　　∴． 　　時， 　　∴函數(shù)在上增函數(shù) 　　． 　　，即． 　�、诋�，，∴． 　　顯然為偶函數(shù)，∴，即． 　　∴在R上恒有成立，則函數(shù)一定是函數(shù)．　14分 　　說明：其他正確解法按相應步驟給分．