Question

18．已知直線x=t與橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1交于P，Q兩點(diǎn)．若點(diǎn)F為該橢圓的左焦點(diǎn)，則$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$取最小值時(shí)的t值為$-\frac{50}{17}$．

Answer 1

分析 可求出橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)F（-4，0），而由方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$可以得到P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得出$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}=\frac{34}{25}{t}^{2}+8t+7$，根據(jù)二次函數(shù)的最小值即可得出$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$取最小值時(shí)t的值．

解答 解：根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得F（-4，0）；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$得$y=±\sqrt{9（1-\frac{{t}^{2}}{25}）}$；
∴$P（t，-\sqrt{9（1-\frac{{t}^{2}}{25}）}），Q（t，\sqrt{9（1-\frac{{t}^{2}}{25}）}）$；
∴$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}=（t+4，-\sqrt{9（1-\frac{{t}^{2}}{25}）}）•（t+4，\sqrt{9（1-\frac{{t}^{2}}{25}）}）$=$（t+4）^{2}-9（1-\frac{{t}^{2}}{25}）=\frac{34}{25}{t}^{2}+8t+7$；
∴$t=-\frac{8}{2•\frac{34}{25}}=-\frac{50}{17}$時(shí)，$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$取最小值．
故答案為：$-\frac{50}{17}$．

點(diǎn)評 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的焦點(diǎn)，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二次函數(shù)最小值問題．