Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，BC⊥平面ABEF，四邊形ABEF是梯形，∠EFA=∠FAB=90°，EF=FA=AD=1，AB=2，點M是DF的中點．
（Ⅰ）求證：BF∥平面AMC，
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）通過三角形的中位線得到線線平行，進一步利用線面平行的判定得到結(jié)論．
（Ⅱ）首先做出二面角的平面角，進一步利用相關(guān)的三角形相似，線面垂直的性質(zhì)求得相關(guān)的線段長，最后求得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：連接AC，BD交與點O，連接OM
由于：M、O是FD、AC的中點，
所以：OM∥FB
BF?平面MAC，OM?平面MAC
所以：BF∥平面AMC．
（Ⅱ）在平面ABEF中，過E點做EG⊥AD于G，過G做GH⊥AC于H，連接EH，
所以：∠EHG是二面角B-AC-E的平面角．
由于：四邊形ABCD是矩形，BC⊥平面ABEF，四邊形ABEF是梯形，
∠EFA=∠FAB=90°，EF=FA=AD=1，AB=2，
所以：利用△AGH∽△ACB
解得：GH=

5

5

EG=1
在Rt△EGH中，tan∠EHG=

5

所以：cos∠EHG=

30

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點評：本題考查的知識要點：線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)，二面角平面角的做法，三角形的相似，及相關(guān)的運算，屬于基礎(chǔ)題型．