Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，G為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，GCD是⊙O的割線，過(guò)點(diǎn)G作AB的垂線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)G作⊙O的切線，切

點(diǎn)為H.求證：（1）C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓；

（2）GH²=GE·GF.

Answer 1

（1）連接BC.∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°.

∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.

又∠EAG=∠BAC，

∴∠ABC=∠AEG.

又∠FDC=∠ABC，

∴∠FDC=∠AEG.

∴∠FDC+∠CEF=180°.

∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓.                                                     7分

（2）∵GH為⊙O的切線，GCD為割線，

∴GH²=GC·GD.

由C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，

得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.

∴△GCE∽△GFD.∴=，

即GC·GD=GE·GF.

∴CH²=GE·GF.        

解析:

（1）連接BC.∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°.

∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.

又∠EAG=∠BAC，

∴∠ABC=∠AEG.

又∠FDC=∠ABC，

∴∠FDC=∠AEG.

∴∠FDC+∠CEF=180°.

∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓.                                                     7分

（2）∵GH為⊙O的切線，GCD為割線，

∴GH²=GC·GD.

由C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，

得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.

∴△GCE∽△GFD.∴=，

即GC·GD=GE·GF.

∴CH²=GE·GF.                                                            14分