Question

15．已知數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差數(shù)列，且${a_3}=\frac{1}{8}$，$\frac{1}{a_7}-\frac{1}{a_2}=15$．
 （1）求{a_n}的通項(xiàng)公式
 （2）若${b_n}={a_n}{a_{n+1}}（{n∈{N^+}}）$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列可知，先求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的通項(xiàng)公式，再求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）化簡(jiǎn)b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，易知利用裂項(xiàng)求和法即可．

解答 解：（1）∵{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列，∴設(shè)其公差為d，
∵$\frac{1}{{a}_{3}}=8$，∴$\frac{1}{{a}_{1}}+2d=8$，
∵$\frac{1}{a_7}-\frac{1}{a_2}=15$=5d，
解得$\frac{1}{{a}_{1}}=2，d=3$，
于是$\frac{1}{{a}_{n}}=2+3（n-1）$，
∴a_n=$\frac{1}{3n-1}$．
（2）∵b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
∴S_n=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$=$\frac{n}{2（3n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，同時(shí)考查了裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．