Question

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]的奇函數(shù)，對(duì)任意a，b∈[-1，1]，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大��；
（2）解不等式f（x-

1

2

）＜f（2x-

1

4

）．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用奇函數(shù)的定義，結(jié)合單調(diào)性的定義，即可得到f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，進(jìn)而得到f（a）和f（b）的大��；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性，即可得到

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜2x- 1 4

，分別解出它們，再求交集即可．

解答： 解：（1）f（x）是定義在[-1，1]的奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x），
對(duì)任意a，b∈[-1，1]，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0，
則有

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，即有

f(a)-f(b)

a-b

＞0，
則f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)．
若a＞b，則有f（a）＞f（b）；
（2）f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)．
則不等式f（x-

1

2

）＜f（2x-

1

4

）
即為

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜2x- 1 4

即有

- 1 2 ≤x≤ 3 2 - 3 8 ≤x≤ 5 8 x＞- 1 4

，
解得，-

1

4

＜x≤

5

8

．
則解集為（-

1

4

，

5

8

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用：比較大小和解不等式，注意函數(shù)的定義域的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．