Question

如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=1，∠B=90°，∠C=135°，沿對(duì)角線AC將△ABC折起，使平面ABC⊥平面ACD。

（Ⅰ）求證：平面ABD⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角B-AD-C的大小。

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∵AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=45°，
又平面四邊形ABCD中，∠C=135°，
∴∠DCA=90°，∴DC⊥AC，
∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，DC平面ACD，
∴DC⊥平面ABC，∴AB⊥CD，
∵DC∩BC=C，
∴AB⊥平面BCD，
∵AB平面ABD，
∴平面ABD⊥平面PCD。
（Ⅱ）解：設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連結(jié)BO，過O作OE⊥AD于E，連結(jié)BE，
∵AB=BC，O為AC的中點(diǎn)，
∴BO⊥AC，
∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，BO平面ABC，
∴BO⊥平面ACD，
∵OE⊥AD，
∴BE⊥AD，
∴∠BEO為二面角B-AD-C的平面角，
在Rt△ABC中，BO=，AC=，
∴在Rt△DCA中，AD=，∴OE=，
∴在Rt△BOE中，，∴∠BEO=60°，
∴二面角B-AD-C的大小為60°。