Question

設(shè)f（x）=（

1

3

）^x-3^x，解關(guān)于x的不等式f（

x2-2x+a

1-x

）+f（x）≤0．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性和奇偶性，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式進行轉(zhuǎn)換，然后根據(jù)不等式的解法討論a的取值即可得到結(jié)論．

解答： 解：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知f（x）=（

1

3

）^x-3^x為減函數(shù)，
且f（x）=（

1

3

）^x-3^x=3^-x-3^x，
則f（-x）=3^x-3^-x=-（3^-x-3^x）=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)，
則不等式f（

x2-2x+a

1-x

）+f（x）≤0等價為f（

x2-2x+a

1-x

）≤-f（x）=f（-x），
∴

x2-2x+a

1-x

≥-x．即

x2-2x+a

1-x

+x=

x2-2x+a+x-x2

1-x

=

a-x

1-x

=

x-a

x-1

≥0．
若a=1，則不等式

x-a

x-1

=1≥0恒成立，此時不等式的解集為{x|x≠1}．
若a＞1，則由不等式

x-a

x-1

≥0得x≥a或x＜1，即不等式此時的解集為{x|x≥a或x＜1}，
若a＜1，則由不等式

x-a

x-1

≥0得x≤a或x＞1，即不等式此時的解集為{x|x≤a或x＞1}，
綜上：若a=1，不等式的解集為{x|x≠1}．
若a＞1，不等式此時的解集為{x|x≥a或x＜1}，
若a＜1，不等式此時的解集為{x|x≤a或x＞1}．

點評：本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性將條件進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，本題綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強，有一定的難度．