Question

已知冪函數(shù)f（x）=x -m2+2m+3（m∈Z）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=

q• f(x) +2

x

（q＞0），若g（x）≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，求實數(shù)q的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域,冪函數(shù)的圖像,冪函數(shù)圖象及其與指數(shù)的關(guān)系

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用冪函數(shù)f（x）=x -m2+2m+3（m∈Z）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，確定m的值，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）分離參數(shù)，求最值，即可求實數(shù)q的取值范圍．

解答： 解：（1）冪函數(shù)f（x）=x -m2+2m+3（m∈Z）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
∴-m²+2m+3＞0，∴-1＜m＜3，
又m∈Z，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故m=1，
∴f（x）=x⁴；
（2）g（x）=

q• f(x) +2

x

=

qx2+2

x

≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，
∴q≥-

2

x2

對任意x∈[1，+∞）恒成立，
∴q≥-2，而q＞0，∴q＞0．

點評：本題考查冪函數(shù)，考查恒成立問題，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．