Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先求出f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

 再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f'（1）=f'（3）求出a即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可知令f'（x）＞0可得到增區(qū)間，令f'（x）＜0可得到減區(qū)間但要注意前提是x＞0．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)
∴定義域?yàn)椋?，+∞）
∴f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

 （x＞0）．
（Ⅰ）∵曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行
∴f'（1）=f'（3）
∴a=

2

3

（Ⅱ）∵f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

 （x＞0）．
∴①當(dāng)a≤0 時(shí)，x＞0，ax-1＜0，
在區(qū)間（0，2）上，f'（x）＞0；
在區(qū)間（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．
②當(dāng)0＜a＜

1

2

 時(shí)，

1

a

＞2，在區(qū)間（0，2）和(

1

a

，+∞) 上，f'（x）＞0；
在區(qū)間(2，

1

a

) 上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）和(

1

a

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2，

1

a

)．
③當(dāng)a=

1

2

 時(shí)，f′(x)=

(x-2)2

2x

，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．
④當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，0＜

1

a

＜2，在區(qū)間(0，

1

a

) 和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在區(qū)間(

1

a

，2) 上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，

1

a

) 和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是(

1

a

，2)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬�？碱}，較難．解題的關(guān)鍵是透徹理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，但此題的難點(diǎn)是會(huì)解含參不等式

(ax-1)(x-2)

x

＞0及不等式

(ax-1)(x-2)

x

＜0，同時(shí)要注意單調(diào)區(qū)間必須寫(xiě)成集合的形式！