Question

16．誠信是立身之本，道德之基，某校學(xué)生會創(chuàng)設(shè)了“誠信水站”，既便于學(xué)生用水，又推進誠信教育，并用“$\frac{周實際回收水費}{周投入成本}$”表示每周“水站誠信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周（共三個周期）的誠信數(shù)據(jù)統(tǒng)計：

	第一周	第二周	第三周	第四周
第一個周期	95%	98%	92%	88%
第二個周期	94%	94%	83%	80%
第三個周期	85%	92%	95%	96%

（1）計算表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)$\overline{x}$；
（2）分別從表中每個周期的4個數(shù)據(jù)中隨機抽取1個數(shù)據(jù)，設(shè)隨機變量X表示取出的3個數(shù)據(jù)中“水站誠信度”超過91%的數(shù)據(jù)的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和期望；
（3）已知學(xué)生會分別在第一個周期的第四周末和第二個周期的第四周末各舉行了一次“以誠信為本”的主題教育活動，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說明兩次主題教育活動的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由．

Answer 1

分析 （1）利用平均數(shù)公式能求出表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)．
（2）隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（3）兩次活動效果均好，活動舉辦后，“水站誠信度”由88%→94%和80%到85%看出，后繼一周都有提升．

解答 解：（1）表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)：
$\overline{x}$=$\frac{95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96}{12}$×$\frac{1}{100}$=91%．
（2）隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{1}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{2}{64}$，
P（X=1）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{2}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{14}{64}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{3}{4}=\frac{30}{64}$，
P（X=3）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{4}×\frac{3}{4}=\frac{18}{64}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{32}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{15}{32}$	$\frac{9}{32}$

EX=$0×\frac{1}{32}+1×\frac{7}{32}+2×\frac{15}{32}+3×\frac{9}{32}$=2．
（3）兩次活動效果均好．
理由：活動舉辦后，“水站誠信度”由88%→94%和80%到85%看出，
后繼一周都有提升．

點評 本題考查平均數(shù)的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要 認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．