Question

已知直線l₁：（2m+1）x+（m+1）y-7m-5=0（m∈R）和直線l₁：x+3y-5=0，圓C：x²+y²-2x-4y=0．
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，l₁∥l₂？
（2）是否存在點(diǎn)P，使得不論m為何值，直線l₁都經(jīng)過點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）試判斷直線l₁與圓C的位置關(guān)系．若相交，求截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)m的值以及最短長(zhǎng)度；若相切，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；若相離，求圓心到直線l₁的距離的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用直線平行的條件，建立方程，即可得出結(jié)論；
（2）直線l₁：（2m+1）x+（m+1）y-7m-5=0（m∈R）可化為（2x+y-7）m+（x+y-5）=0，由此可得結(jié)論；
（3）確定P在圓內(nèi)，可得直線l₁與圓C相交．當(dāng)直線l₁與直線PC垂直時(shí)，截得的弦長(zhǎng)最短，從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵直線l₁：（2m+1）x+（m+1）y-7m-5=0（m∈R）和直線l₁：x+3y-5=0，l₁∥l₂，
∴3（2m+1）-（m+1）=0
∴m=-

2

5

；
（2）直線l₁：（2m+1）x+（m+1）y-7m-5=0（m∈R）可化為（2x+y-7）m+（x+y-5）=0
∴

2x+y-7=0 x+y-5=0

，∴

x=2 y=3

∴存在P（2，3），使得不論m為何值，直線l₁都經(jīng)過點(diǎn)P；
（3）圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y-2）²=5
∴圓心C（1，2），半徑為

5

∴點(diǎn)P到圓心的距離d=

2

＜

5

∴P在圓內(nèi)，∴直線l₁與圓C相交
當(dāng)直線l₁與直線PC垂直時(shí)，截得的弦長(zhǎng)最短，最短長(zhǎng)度為2

5-|PC|2

=2

3

此時(shí)，

3-2

2-1

•(-

2m+1

m+1

)=-1
∴m=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定P在圓內(nèi)是關(guān)鍵．