Question

6．已知圓C₁：x²+y²=4與圓C₂：（x-1）²+（y-3）²=4，過動點P（a，b）分別作圓C₁、圓C₂的切線PM，PN，（M，N分別為切點），若|PM|=|PN|，則a²+b²-6a-4b+13的最小值是（　�。�

• A． 5
• B． $\frac{8}{5}$
• C． $\frac{2}{5}\sqrt{10}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根據條件PM=PN，求出P的軌跡方程，a²+b²-6a-4b+13=（a-3）²+（b-2）²的幾何意義為P到定點（3，2）的距離的平方，即可得到結論．

解答 解：∵過動點P（a，b）分別作圓C₁，圓C₂的切線PM，PN（ M、N分別為切點），若PM=PN，
∴|PC₁|²=|PC₂|²，
即a²+b²=（a-1）²+（b-3）²，
即a+3b-5=0，即動點P（a，b）在直線x+3y-5=0上，
a²+b²-6a-4b+13=（a-3）²+（b-2）²的幾何意義為P到定點（3，2）的距離的平方，
則點（3，2）到直線x+3y-5=0的距離為$\frac{|3+6-5|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{4}{\sqrt{10}}$，
故a²+b²-6a-4b+13的最小值為$\frac{8}{5}$，
故選B．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，以及點到直線的距離公式的應用，利用距離的幾何意義是解決本題的關鍵．