Question

（2008•崇明縣二模）等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為1，公差為2，數(shù)列{a_n}與{b_n}且滿足關(guān)系式bn=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

（n∈N^*），奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=-

3qx

3qx+p-1

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若

lim

n→∞

f(an)=0，求p+q必須滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-f（-0）求出f（0）的值，設(shè)x＞0則-x＜0，將其代入小于0的解析式，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出大于0的解析式；
（2）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=b₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，利用遞推關(guān)系作差即可即可求出a_n的通項(xiàng)公式；
（3）根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)镽求出p的范圍，由于a_n＞0，

lim

n→∞

f(an)=0，所以3^3q＞1，即q＞0，從而求出p+q必須滿足的條件．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-f（-0），所以f（0）=0當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=-f(-x)=

3-qx

3-qx+p-1

=

1

(p-1)•3qx+1

所以f（x）=

- 3qx 3qx+p-1    x＜0 0                  x=0 1 (p-1)•3qx+1 x＞0

（2）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=b₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，由于

n(n+1)

2

bn=a1+2a2+3a3+…+nan，所以

(n-1)n

2

bn-1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1
相減計(jì)算得a_n=3n-2
檢驗(yàn)得a_n=3n-2（n∈N^*）
（3）由于f（x）=

- 3qx 3qx+p-1    x＜0 0                  x=0 1 (p-1)•3qx+1 x＞0

的定義域?yàn)镽，所以p-1≥0即p≥1；
由于a_n＞0所以

lim

n→∞

f(an)=

lim

n→∞

1

(p-1)•3-2(33q)n+1

=

1  0＜33q＜1 9 p+8  33q=1 0   33q＞1

由于

lim

n→∞

f(an)=0，所以3^3q＞1，即q＞0，
因此p+q＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及函數(shù)奇偶性以及數(shù)列的極限等有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．