Question

2．直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位．直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），曲線c的極坐標方程為ρ²-10ρcosθ+9=0，點P是直線l上的點，過點P的直線與曲線c相切于點M，則|PM|最小值為4．

Answer 1

分析 直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t即可化為直角坐標方程；利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可把曲線C的極坐標方程ρ²-10ρcosθ+9=0，化為直角坐標方程．
當PC⊥l時，|PM|取得最小值=$\sqrt{|PC{|}^{2}-{r}^{2}}$．

解答 解：直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），化為x+y+3=0；
曲線C的極坐標方程為ρ²-10ρcosθ+9=0，化為x²+y²-10x+9=0，配方為（x-5）²+y²=16．
當PC⊥l時，|PM|取得最小值=$\sqrt{|PC{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5+0+3}{\sqrt{2}}）^{2}-16}$=4．
故答案為：4．

點評 本題考查了把參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、圓的切線的性質、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．