Question

6．過原點的直線l與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右兩支分別相交于A，B兩點，F(xiàn)（-$\sqrt{3}$，0）是雙曲線C的左焦點，若|FA|+|FB|=4，$\overrightarrow{FA}$$•\overrightarrow{FB}$=0．則雙曲線C的方程=$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}=1$．

Answer 1

分析 設|FB|=x，則|FA|=4-x，利用勾股定理，建立方程，求出|FB|=2+$\sqrt{2}$，|FA|=2-$\sqrt{2}$，可得a，b，即可得出結(jié)論．

解答 解：設|FB|=x，則|FA|=4-x，
∵過原點的直線l與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右兩支分別相交于A，B兩點，F(xiàn)（-$\sqrt{3}$，0）是雙曲線C的左焦點，
∴|AB|=2$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{FA}$$•\overrightarrow{FB}$=0，
∴x²+（4-x）²=12，
∴x²-4x+2=0，
∴x=2±$\sqrt{2}$，
∴|FB|=2+$\sqrt{2}$，|FA|=2-$\sqrt{2}$，
∴2a=|FB|-|FA|=2$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴b=1，
∴雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}=1$．

點評 本題考查雙曲線方程與性質(zhì)，考查學生的計算能力，確定幾何量是關鍵．