Question

【題目】在平面直角坐標系中，定義為兩點AB的“切比雪夫距離”，又設點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”，記作,給出下列三個命題：

①對任意三點A、B、C，都有

②已知點P(2,1)和直線,則

③定點動點P滿足則點P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個公共點.

其中真命題的個數(shù)是（ ）

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】C

【解析】

①討論三點共線和不共線，結合圖象與新定義即可判斷；

②設點直線一點，且，可得，討論即可得出即可判斷；

③討論點在坐標軸和各個象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷．

解：①對任意三點、、，

若它們共線，設，、，、，，如圖，

結合三角形的相似可得,,分別為,,或,,，

則；

若,或,對調，可得；

若它們不共線，且三角形中為銳角或鈍角，如圖，

由矩形或矩形，

；

則對任意的三點，，，都有；

故①正確；

②設點直線一點，且，可得，

由，解得，即有，

當時，取得最小值；

由，解得或，即有，

的范圍是，無最值，

綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為，

故②錯誤；

③定點、，動點滿足，

可得不軸上，在線段間成立，

可得，解得，

由對稱性可得也成立，即有兩點滿足條件；

若在第一象限內，滿足即為，為射線，

由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，

則點的軌跡與直線為常數(shù)）有且僅有2個公共點，

故③正確；

真命題的個數(shù)是2，

故選：C．