已知函數(shù)F(x)=
1
a
-
1
x
,x>0,a>0.
(1)討論f(x)在定義域上的單調性,并給予證明;
(2)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],(0<m<n),求a的取值范圍和相應的m,n的值.
(1)f(x)在定義域上單調遞增.證明如下
任取x1>x2>0,
f(x1)-f(x2)=(
1
a
-
1
x1
)-(
1
a
-
1
x2
)

=
1
x2
-
1
x1
=
x1-x2
x1x2

∵x1>x2>0,∴x1-x2>0,x1x2>0.
x1-x2
x1x2
>0

∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)在定義域上單調遞增.
(2)由(1)知f(x)在[m,n]上單調遞增,
則f(x)在[m,n]上的值域是[f(m),f(n)].
f(m)=
1
a
-
1
m
=m
,f(n)=
1
a
-
1
n
=n

∴m,n為方程ax2-x+a=0的兩實根,
∴△=1-4a2>0,
-
1
2
<a<
1
2
,又a>0,可得a∈(0,
1
2
)

m=
1-
1-4a2
2a
n=
1+
1-4a2
2a
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),則實數(shù)x的取值范圍是( 。
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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1,x∈Q
0,x∉Q
,則f[f(π)]=(  )

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ax
+lnx(a>0)

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(2)當a=1時,求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)當a=1時,求證對任意大于1的正整數(shù)n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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π
6
),其中x∈R,則下列結論中正確的是( 。

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