Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓上的兩點(diǎn)，已知向量=（，），=（，），若=0且橢圓的離心率e=，短軸長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可求得b，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a，則橢圓方程可得．
（2）先看當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即x₁=x₂，y₁=y₂，根據(jù)=0代入求得x₁²-=0把點(diǎn)A代入橢圓方程，求得A點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，進(jìn)而求得△AOB的面積的值；當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)：設(shè)AB的方程為y=kx+b與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)偉大定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式代入=0中整理可求得2b²-k²=4代入三角形面積公式中求得求得△AOB的面積的值為定值．最后綜合可得答案．
解答：解：（1）依題意知2b=2，∴b=1，e===
∴a=2，c==
∴橢圓的方程為
（2）①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即x₁=x₂，y₁=y₂，
∵=0
∴x₁²-=0
∴y₁²=4x₁²
又A（x₁，y₁）在橢圓上，所以x₁²+=1
∴|x₁|=，|y₁|=
s=|x₁||y₁-y₂|=1
所以三角形的面積為定值．
②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)：設(shè)AB的方程為y=kx+b
消去y得（k²+4）x²+2kbx+b²-4=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，△=（2kb）²-4（k²+4）（b²-4）＞0
而=0，
∴x₁x₂+=0
即x₁x₂+=0代入整理得
2b²-k²=4
S=|AB|=|b|=
===1
綜上三角形的面積為定值1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．