Question

已知向量a=（sin（ωx+φ），2），b=（1，cos（ωx+φ））（ω＞0，0＜φ＜

π

4

），函數(shù)f（x）=（a+b）•（a-b）圖象過點(diǎn)M(1，

7

2

)且兩條對稱軸的最近距離為2．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，2]上的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（ I）化簡得f（x）=3-cos（2ωx+2φ），由兩條對稱軸的最近距離為2知最小正周期

2π

2ω

=4，求出ω=

π

4

，再將M(1，

7

2

)代入，求出f（x）的表達(dá)式；
（ II）由1≤x≤2求出

2π

3

≤

π

2

x+

π

6

≤

7π

6

，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象求出f（x）的取值范圍．

解答： 解：（ I）f（x）=(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2=|

a

|2-|

b

|2
=sin²（ωx+φ）+4-1-cos²（ωx+φ），=3-cos（2ωx+2φ），（3分）
由題意知最小正周期

2π

2ω

=4，
∴ω=

π

4

，
又∵圖象過點(diǎn)M(1，

7

2

)，
∴

7

2

=3-cos(

π

2

×1+2φ)，
即sin2φ=

1

2

．
∵0＜ϕ＜

π

4

，
∴2ϕ=

π

6

，ϕ=

π

12

∴f(x)=3-cos(

π

2

x+

π

6

)．（6分）
（ II）因為1≤x≤2，
所以

2π

3

≤

π

2

x+

π

6

≤

7π

6

，（8分）
∴-1≤cos(

π

2

x+

π

6

)≤-

1

2

．（10分）
∴

7

2

≤3-cos(

π

2

x+

π

6

)≤4，
即f（x）的取值范圍為[

7

2

，4]．（12分）

點(diǎn)評：本題考查向量的運(yùn)算法則及三角函數(shù)的性質(zhì)，涉及三角函數(shù)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．