Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求

TM

•

TN

的最小值，并求此時圓T的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用橢圓的離心率為

3

2

，a=2，可求橢圓C的標準方程；
（2）根據點M與點N關于x軸對稱，利用直角坐標方程或參數(shù)方程，設出N的坐標，再利用點M在橢圓C上，利用數(shù)量積的坐標表達式得出

TM

•

TN

的表達式，最后利用二次函數(shù)的性質求其最小值及求此時圓T的方程．

解答： 解：（1）依題意，得a=2，e=

c

a

=

3

2

，∴c=

3

， b=

a2-c2

=1；
故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）點M與點N關于x軸對稱，故設M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨設sinθ＞0，由已知T（-2，0），
則

TM

•

TN

=（2cosθ+2，sinθ）•（2cosθ+2，-sinθ）=（2cosθ+2）²-sin²θ=5cos²θ+8cosθ+3
=5(cosθ+

4

5

)2-

1

5

．
故當cosθ=-

4

5

時，

TM

•

TN

取得最小值為-

1

5

，此時M（-

8

5

，

3

5

），
又點M在圓T上，代入圓的方程得到r²=

13

25

．
故圓：（x+2）²+y²=

13

25

．

點評：本題考查橢圓的方程和幾何性質、圓的方程等基礎知識，考查向量的數(shù)量積公式，考查運算求解能力、推理論證能力，屬于中檔題．