如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程．
考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用橢圓的離心率為
3
2
，a=2，可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)點M與點N關(guān)于x軸對稱，利用直角坐標(biāo)方程或參數(shù)方程，設(shè)出N的坐標(biāo)，再利用點M在橢圓C上，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式得出
TM
•
TN
的表達(dá)式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最小值及求此時圓T的方程．
解答： 解：（1）依題意，得a=2，e=
c
a
=
3
2
，∴c=
3
， b=
a2-c2
=1；
故橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1．
（2）點M與點N關(guān)于x軸對稱，故設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨設(shè)sinθ＞0，由已知T（-2，0），
則
TM
•
TN
=（2cosθ+2，sinθ）•（2cosθ+2，-sinθ）=（2cosθ+2）2-sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3
=5(cosθ+
4
5
)2-
1
5
．
故當(dāng)cosθ=-
4
5
時，
TM
•
TN
取得最小值為-
1
5
，此時M（-
8
5
，
3
5
），
又點M在圓T上，代入圓的方程得到r2=
13
25
．
故圓：（x+2）2+y2=
13
25
．
點評：本題考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查向量的數(shù)量積公式，考查運算求解能力、推理論證能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明：若a2-b2+2a-4b-3≠0，則a-b≠1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinx，2
3
sinx），
b
=（2cosx，sinx），設(shè)f（x）=
a
•
b
-
3

（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若0＜θ＜
π
2
，且y=f（x+θ）為偶函數(shù)，求θ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點，點A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．
（Ⅰ）若
AC
•
BC
=
7
5
，求tanα的值；
（Ⅱ）若|
OA
+
OC
|=
7
，求
OB
與
OC
的夾角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
tanα
1-tanα
=-
1
3

（Ⅰ）求
sinα-2cosα
3sinα+cosα
的值；
（Ⅱ）若α∈(0，π)，β∈(0，
π
2
)，cos(2β+α)=
5
5
，求sinβ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=sin（
1
2
x+
π
3
），x∈[-π，
π
2
]的單調(diào)遞增區(qū)間為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若正數(shù)a、b滿足a+3=b（a-1），則ab的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞2，則a+
1
a-2
的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若不等式ax2+bx+2＞0的解集為{x|-
1
2
＜x＜
1
3
}，則a+b=
 
．

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