Question

16．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）
（Ⅰ）已知在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，$\frac{π}{6}$），判斷點P與直線l的位置關(guān)系；
（Ⅱ）設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求點Q到直線l的距離的最小值與最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先把直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，進一步把點的極坐標轉(zhuǎn)化為直角坐標，進一步判斷點和直線的關(guān)系．
（Ⅱ）利用點到直線的距離直接求出最值，主要考慮三角函數(shù)的最值問題．

解答 解：（ I）將點P（4，$\frac{π}{6}$）化為直角坐標，得到：P（2$\sqrt{3}$，2），
將直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為：y=$\sqrt{3}x-1$，
因為$\sqrt{3}•2\sqrt{3}-1=5$≠2，
所以點P坐標不滿足直線l的方程，
所以點P不在直線l上．                                    
（ II）因為點Q在曲線C上，故可設(shè)點Q（cosθ，2+sinθ）
點Q到直線l：$\sqrt{3}x-y-1=0$的距離為：
d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-2-sinθ-1|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{|2cos（θ+\frac{π}{6}）-3|}{2}$，
所以當$cos（θ+\frac{π}{6}）=1$時，$h53fvjt_{min}=\frac{1}{2}$，
當$cos（θ+\frac{π}{6}）=-1$時，$ggu3ukk_{max}=\frac{5}{2}$，
故點Q到直線l的距離的最小值為$\frac{1}{2}$，最大值為$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查的知識要點：參數(shù)方程和直角坐標方程的互化，點到直線的距離的應用，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，三角函數(shù)的最值得應用．主要考查學生的應用能力．