【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在
軸上,離心率等于
,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好在拋物線
的準(zhǔn)線上.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)點(diǎn),
在橢圓上,
,
是橢圓上位于直線
兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).
(i)若直線的斜率為
,求四邊形
面積的最大值.
(ii)當(dāng),
運(yùn)動(dòng)時(shí),滿足
,試問(wèn)直線
的斜率是否為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1),(2)直線
的斜率為定值
.
【解析】
試題(Ⅰ)由題,得b=2,又
,
,聯(lián)立計(jì)算得出即可.
(Ⅱ)(i)設(shè),
,直線
的方程為
,與橢圓方程聯(lián)立化為
,由
,計(jì)算得出
, ,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得:
.四邊形APBQ面積
,可求得面積最值.
(ii)由,則PA,PB的斜率互為相互數(shù),可設(shè)直線PA的斜率為k,則PB的斜率為-k,直線PA的方程為:
,與橢圓的方程聯(lián)立化為
,利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式即可求解.
試題解析:
(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
,
∵ 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)恰好在拋物線的準(zhǔn)線
上,
∴,即
,
又∵ ,
,
∴,
,
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
.
(Ⅱ)(i)設(shè),
,直線
的方程為
,
聯(lián)立,得
,
由,計(jì)算得出
,
∴,
,
∴ ,
∴ 四邊形的面積
,
當(dāng)時(shí),
.
(ii)∵ ,則
,
的斜率互為相反數(shù),可設(shè)直線
的斜率為
,
則的斜率為
,直線/span>
的方程為:
,
聯(lián)立,得
,
∴,
同理可得:,
∴,
,
,
∴直線的斜率為定值
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為:
(
為參數(shù),
),以
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)當(dāng)時(shí),寫(xiě)出直線
的普通方程和曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn),設(shè)曲線
與直線
交于點(diǎn)
,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為
,
,
,數(shù)列
滿足:
,
,
,數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和;
(3)記集合,若M的子集個(gè)數(shù)為16,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)貴廣高速鐵路自貴陽(yáng)北站起,經(jīng)黔南州、黔東南、廣西桂林、賀州、廣東肇慶、佛山終至廣州南站. 其中廣東省內(nèi)有懷集站、廣寧站、肇慶東站、三水南站、佛山西站、廣州南站共6個(gè)站. 記者對(duì)廣東省內(nèi)的6個(gè)車站隨機(jī)抽取3個(gè)進(jìn)行車站服務(wù)滿意度調(diào)查.
(1)求抽取的車站中含有佛山市內(nèi)車站(包括三水南站和佛山西站)的概率;
(2)設(shè)抽取的車站中含有肇慶市內(nèi)車站(包括懷集站、廣寧站、肇慶東站)個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中是真命題的個(gè)數(shù)是( )
(1)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
(2)與同一個(gè)平面夾角相等的兩條直線互相平行
(3)平行于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行
(4)兩條直線能確定一個(gè)平面
(5)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)有關(guān)于的一元二次方程
.
(Ⅰ)若是從
四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),
是從
三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.
(Ⅱ)若是從區(qū)間
任取的一個(gè)數(shù),
是從區(qū)間
任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在空間中,下列命題正確的是( )
A.若平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與直線
平行,則
∥
B.若平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面
平行,則
∥
C.若平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與直線
垂直,則
D.若平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面
垂直,則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的
倍(縱坐標(biāo)不變),再將所得的圖象向左平移
個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)
的圖象.
(1)寫(xiě)出函數(shù)的解析式;
(2)若對(duì)任意
,
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)求實(shí)數(shù)和正整數(shù)
,使得
在
上恰有
個(gè)零點(diǎn).
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