Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（a-1）ln（x-a）-$\frac{1}{2}$，其中a∈R，a≠1且為常數(shù)．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a+1，1]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值，即可求出的單調(diào)區(qū)間；
（3）盤函數(shù)f（x）在區(qū)間[a+1，1]上的單調(diào)性，求出最值關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx-$\frac{1}{2}$，
函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x-$\frac{1}{x}=\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
由f′（x）＞0得x＞1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值f（1）=$\frac{1}{2}$-ln1-$\frac{1}{2}$=0，
即函數(shù)f（x）的極小值為0，無極大值；
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋╝，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x+$\frac{a-1}{x-a}$=$\frac{{x}^{2}-ax+a-1}{x-a}$=$\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{x-a}$，
由f′（x）=0得x=a-1，或x=1，
若a-1≥1，即a≥2時(shí)，f′（x）＞0恒成立，此時(shí)函數(shù)在（a，+∞）上為增函數(shù)．
若a-1＜1，即a＜2時(shí)，由f′（x）＞0得x＞1或x＜a-1，函數(shù)為增函數(shù)，
由f′（x）＜0時(shí)，得a-1＜x＜1，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，
若1＜a＜2，則函數(shù)在（a，+∞）上為增函數(shù)，
若a＜1，則函數(shù)f（x）在（a，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)．
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a+1，1]上有零點(diǎn)，
則a+1＜1，
即a＜0，
由（2）知，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（a，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）在[a+1，1]上單調(diào)遞減，
則函數(shù)的最小值為f（1）=$\frac{1}{2}$+（a-1）ln（1-a）-$\frac{1}{2}$=（a-1）ln（1-a），
最大值為f（a+1）=$\frac{1}{2}$（a+1）²+（a-1）ln（a+1-a）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（a+1）²-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（a²+2a），
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a+1，1]上有零點(diǎn)，
則f（1）f（a+1）≤0，
即（a-1）ln（1-a）×$\frac{1}{2}$（a²+2a）≤0，
即（a-1）ln（1-a）a（a+2）≤0，
∵a＜0，
∴a-1＜-1，1-a＞1，ln（1-a）＞0，
則不等式等價(jià)為a+2≤0，
解得a≤-2，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性極值和導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．