Question

已知f（x）=2f（-x）-x²-12x-1對任意x∈R均成立，
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（2）設(shè)g（x）=f（x）e^-x，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：由題意f（-x）=2f（x）-x²+12x-1，代入f（x）=2f（-x）-x²-12x-1得f（x）=x²-4x+1
（1）f′（x）=2x-4，∴f′（0）=-4，∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=-4x+1；
（2）g（x）=（x²-4x+1）e^-x，g′（x）=（2x-4）e^-x-（x²-4x+1）e^-x=（-x²+6x-5）e^-x
令g′（x）＞0，函數(shù)增區(qū)間為（1，5），令g′（x）＜0，函數(shù)減區(qū)間為（-∞，1），（5，+∞）
分析：先求函數(shù)的解析式f（x）=x²-4x+1，（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，從而可得方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)大于0，求增區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)小于0，求減區(qū)間．
點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，屬于基礎(chǔ)題．