Question

已知集合A={x|x=-2n-1，n∈N^*}，B={x|x=-6n+3，n∈N^*}，設(shè)S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若{a_n}的任一項(xiàng)a_n∈A∩B，且首項(xiàng)a₁是A∩B中最大的數(shù)，-750＜S₁₀＜-300．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=|cos

nπ

2

|×2 

9-an-13n

2

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：當(dāng)n≥3時(shí)，T_2n＞

2n

2n+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由 題意可得，A∩B=B，A∩B中的最大數(shù)為-3，即a₁=-3，a_n=-3+（n-1）d，即前10項(xiàng)的和，由-750＜S₁₀＜-300可得-16＜d＜-6，結(jié)合B中所有的元素可以組成以-3為首項(xiàng)，-6為公差的等差數(shù)列可知d=-6m（m∈Z，m≠0），且-16＜-6m＜-6可求m，進(jìn)而可求d，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（2）利用等比數(shù)列的求和公式可求可求T_2n，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可

解答： 解：（1）根據(jù)題設(shè)可得：集合A中所有的元素可以組成以-3為首項(xiàng)，-2為公差的遞減等差數(shù)列；集合B中所有的元素可以組成以-3為首項(xiàng)，-6為公差的遞減等差數(shù)列．
由題意，有A∩B=B，A∩B中的最大數(shù)為-3，即a₁=-3，
設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_n=-3+（n-1）d，S10=

10(a1+a10)

2

=45-30d
∵-750＜S₁₀＜-300，
∴-750＜45d-30＜-300，即-16＜d＜-6
由于B中所有的元素可以組成以-3為首項(xiàng)，-6為公差的遞減等差數(shù)列
∴d=-6m（m∈Z，m≠0），由-16＜-6m＜-6⇒m=2，所以d=-12，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=9-12n（n∈N^*） 
（2）∵b_n=|cos

nπ

2

|×2 

9-an-13n

2

，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b_n=0，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b_n=2 

9-an-13n

2

=2

-n

2

=(

2

2

)n
要證明，當(dāng)n≥3時(shí)，T_2n＞

2n

2n+1

．只要證2ⁿ＞2n+1
用數(shù)學(xué)歸納法：①當(dāng)n=3時(shí)，2³＞2×3+1成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，2^k＞2k+1，
則2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立
根據(jù)①②可知，對一切n≥3的正整數(shù)，都有2ⁿ＞2n+1，
故當(dāng)n≥3時(shí)，T_2n＞

2n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題以集合為載體，主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，數(shù)學(xué)歸納法在證明數(shù)學(xué)命題中的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識的簡單應(yīng)用