Question

18．設函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）請你確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（2）用單調(diào)性定義證明，無論a為何值，f（x）為增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可．
（2）根函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=a-$\frac{2}{1+1}$=0，
∴a=1；
（2）證明：任�。簒₁＜x₂∈R，
∴f（x₁）-f（x₂）=a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-a+$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=2•$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，
又${2}^{{x}_{1}}+1$＞0，${2}^{{x}_{2}}+1＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上的單調(diào)遞增．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應用，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關鍵．