Question

一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，且該正三棱錐的體積是，則球的體積為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：根據(jù)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，所以球心是底面三角形的中心，球的半徑，就是三棱錐的高，再求底面面積，即可求解三棱錐的體積的解析式，從而求出球半徑，最后利用球的體積公式計(jì)算即得．
解答：正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，
其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，所以球心是底面三角形的中心，
設(shè)球的半徑為R，所以底面三角形的邊長為a，×a=R，a=R，
該正三棱錐的體積：××（R）²×R=，
∴R=1，
則球的體積為．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查棱錐的體積，棱錐的外接球的問題，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．