Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+2在x=1處取得極值-1．
（1）求b、c的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+t=0在區(qū)間[-1，1]上有實(shí)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+2在x=1處取得極值-1，可得f（1）=-1，f′（1）=0，可求得b，c的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+t=0在區(qū)間[-1，1]上有實(shí)根，設(shè)g（x）=f（x）+t=x³+x²-5x+2+t，則g′（x）=3x²+2x-5=（3x+5）（x-1）求得g（x）的單調(diào)區(qū)間，得出g（x）在區(qū)間[-1，1]上遞增，要使關(guān)于x的方程f（x）+t=0在區(qū)[-1，1]上有實(shí)根，只需由此解得實(shí)數(shù)t的取值范圍即可．
解答：解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c（1分）
由已知得：（2分）
解得：（1分）
（2）設(shè)g（x）=f（x）+t=x³+x²-5x+2+t，則g′（x）=3x²+2x-5=（3x+5）（x-1）（1分）
∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-），（1，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間（-，1）
∴g（x）在區(qū)間[-1，1]上遞增（3分）
要使關(guān)于x的方程f（x）+t=0在區(qū)[-1，1]上有實(shí)根，只需，（2分）
解得：-7≤t≤1（2分）
點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了解方程的思想方法，屬基礎(chǔ)題．