Question

9．在數(shù)學研究中，函數(shù)的變化率是研究的重點對象之一，定義$\frac{f（x）+f（a）}{|x-a|}$為函數(shù)f（x）對實數(shù)x=a的平均定向增長率．已知某物體離開初始位置的距離f（x）與時間x的函數(shù)關(guān)系式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+4，x≥2}\\{37-18x，x＜2}\end{array}\right.$求該物體離開初始位置的距離對x=2的平均定向增長率的最小值．

Answer 1

分析 分類得出當x＞2時，對x=2的平均定向增長率g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+16}{x-2}$=（x-2）$+\frac{24}{x-2}$+6，x＞2利用基本不等式得出
當x＞2時，g（x）的最小值為4$\sqrt{6}$+6，
當x＜2時，對x=2的平均定向增長率g（x）=$\frac{18x-49}{x-2}$=18-$\frac{13}{x-2}$，x＜2，
利用單調(diào)性得出：18-$\frac{13}{x-2}$＞18，求解即可得出g（x）的最小值．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+4，x≥2}\\{37-18x，x＜2}\end{array}\right.$，
∴f（x）=12，
當x＞2時，對x=2的平均定向增長率g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+16}{x-2}$=（x-2）$+\frac{24}{x-2}$+6，x＞2
∵（x-2）$+\frac{24}{x-2}$+6≥2$\sqrt{24}$+6=4$\sqrt{6}$+6，
∴當x＞2時，g（x）的最小值為4$\sqrt{6}$+6，
當x＜2時，對x=2的平均定向增長率g（x）=$\frac{18x-49}{x-2}$=18-$\frac{13}{x-2}$，x＜2，
18-$\frac{13}{x-2}$＞18，
∴z最小值為4$\sqrt{6}$+6，

點評 本題綜合考察了了函數(shù)的思想的運用，不等式求解最小值，化簡運用題目條件得出基本不等式運用的條件，關(guān)鍵是正確理解題意．