【題目】設(shè)函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若，，證明；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見解析（2）不存在實(shí)數(shù)，詳見解析

【解析】

（1）分類討論，時(shí)直接證明，時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最小值可證得不等式成立；

（2）時(shí)，由（1）可知無(wú)零點(diǎn)，時(shí)，仍然利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（1）證明：①若，則當(dāng)時(shí)，，，所以；

②若，因?yàn)?/span>，

設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，

所以，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

綜上所述，若，，則.

（2）不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).

理由如下：

（1）若，由（1）知，在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)；

（2）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，

所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?/span>，，

所以在上存在唯一的零點(diǎn)，

即方程在上存在唯一解，

且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，所以在無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，，

所以在上有唯一零點(diǎn)，

故當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與極軸所成的角為.

（1）求曲線的普通方程及直線的參數(shù)方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的普通方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值和最大值；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】最近幾年汽車金融公司發(fā)展迅猛，主要受益于監(jiān)管層面對(duì)消費(fèi)進(jìn)人門檻的降低，互聯(lián)網(wǎng)信貸消費(fèi)的推廣普及，以及汽車銷售市場(chǎng)規(guī)模的擴(kuò)張.如圖是2013﹣2017年汽車金融行業(yè)資產(chǎn)規(guī)模統(tǒng)計(jì)圖（單位：億元）.

（1）以年份值2013，2014，…為橫坐標(biāo)，汽車金融行業(yè)資產(chǎn)規(guī)模（單位：億元）為縱坐標(biāo)，求y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，預(yù)計(jì)2018年汽車金融行業(yè)資產(chǎn)規(guī)模（精確到億元）.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，（其中，為樣本平均值）.

參考數(shù)據(jù)：4.620×107，20154.619×107.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；

（2）令，已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，

①求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②若存在，使不等式對(duì)任意（取值范圍內(nèi)的值）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位所著，該作完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變，該作中有題為“李白沽酒”“李白街上走，提壺去買酒。遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒。借問(wèn)此壺中，原有多少酒？”，如圖為該問(wèn)題的程序框圖，若輸出的值為0，則開始輸入的值為（ ）

A. B.

C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】網(wǎng)購(gòu)已經(jīng)成為一種新型的購(gòu)物方式，2018年天貓雙11，僅1小時(shí)47分鐘成交額超過(guò)1000億元，比2017年達(dá)到1000億元的時(shí)間縮短了7個(gè)小時(shí)，為了研究市民對(duì)網(wǎng)購(gòu)的依賴性，從A城市16﹣59歲人群中抽取一個(gè)容量為100的樣本，得出下列2×2列聯(lián)表，其中16﹣39歲為青年，40﹣59歲為中年，當(dāng)日消費(fèi)金額超過(guò)1000元為消費(fèi)依賴網(wǎng)購(gòu)，否則為消費(fèi)不依賴網(wǎng)購(gòu)．

依賴網(wǎng)購(gòu)

不依賴網(wǎng)購(gòu)

小計(jì)

青年（16﹣39歲）

40

20

中年（40﹣59歲）

20

20

小計(jì)

（1）完成2×2列聯(lián)表，計(jì)算X2值，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為網(wǎng)購(gòu)依賴和年齡有關(guān)？

（2）把樣本中的頻率當(dāng)作概率，隨機(jī)從A城市中選取5人，其中依賴網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望（附：X2，當(dāng)X2＞3.841時(shí)，有95%的把握說(shuō)事件A與B有關(guān)，當(dāng)X2≤3.841時(shí)，沒有95%的把握說(shuō)事件A與B有關(guān)）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)要設(shè)計(jì)制造一批大小、規(guī)格相同的長(zhǎng)方體封閉水箱，已知每個(gè)水箱的表面積為432（每個(gè)水箱的進(jìn)出口所占面積與制作材料的厚度均忽略不計(jì)）．每個(gè)長(zhǎng)方體水箱的底面長(zhǎng)是寬的2倍．現(xiàn)設(shè)每個(gè)長(zhǎng)方體水箱的底面寬是，用表示每個(gè)長(zhǎng)方體水箱的容積．

（1）試求函數(shù)的解析式及其定義域；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，并求出最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，設(shè).

（Ⅰ）若在處取得極值，且，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若時(shí)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、.

①求的取值范圍；②求證：.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案