【題目】已知長方形中,,,現(xiàn)將長方形沿對角線折起,使,得到一個四面體,如圖所示.

(1)試問:在折疊的過程中,異面直線能否垂直?若能垂直,求出相應的的值;若不垂直,請說明理由;

(2)當四面體體積最大時,求二面角的余弦值.

【答案】(1)1;(2).

【解析】

(1)若AB⊥CD,得AB⊥ACD,由于ABAC.,所以AB2a2BC,解得a2=1,成立;(2)四面體A﹣BCD體積最大時面ABD⊥BCD,以A為原點,在平面ACD中過OBD的垂線為x軸,ODy軸,OAz軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值.

(1)若ABCD,因為ABAD,ADCDD

所以AB⊥面ACDABAC.

由于AB=1, AD=BC= ,AC=,

由于ABAC.,所以AB2a2BC,

所以12a2=()2a=1,

所以在折疊的過程中,異面直線ABCD可以垂直,此時的值為1

(2)要使四面體ABCD體積最大,因為△BCD面積為定值

所以只需三棱錐ABCD的高最大即可,此時面ABD⊥面BCD.

AAOBDO,則AO⊥面BCD,

O為原點建立空間直角坐標系 (如圖),

則易知,

顯然,面BCD的法向量為 ,

設面ACD的法向量為n=(x,y,z),

因為

所以y,得n=(1,,2),

故二面角ACDB的余弦值即為

.

練習冊系列答案
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【題目】下列說法正確的是( )

A. “f(0)”是“函數(shù)f(x)是奇函數(shù)”的充要條件

B. p:,,則,

C. “若,則”的否命題是“若,則

D. 為假命題,則p,q均為假命題

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【題目】(2017·全國卷Ⅲ文,18)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:

最高氣溫

[10,15)

[15,20)

[20,25)

[25,30)

[30,35)

[35,40)

天數(shù)

2

16

36

25

7

4

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.

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【題目】楊輝,字謙光,南宋時期杭州人.在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中,輯錄了如圖所示的三角形數(shù)表,稱之為開方作法本源圖,并說明此表引自11世紀中葉(約公元1050年)賈憲的《釋鎖算術(shù)》,并繪畫了古法七乘方圖”.故此,楊輝三角又被稱為賈憲三角”.楊輝三角是一個由數(shù)字排列成的三角形數(shù)表,一般形式如下:

基于上述規(guī)律,可以推測,當時,從左往右第22個數(shù)為_____________.

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【題目】某校數(shù)學老師任教的班級有50名學生,某次單元測驗成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間為,,,,,

1)求圖中的值;

2)從成績不低于80分的同學中隨機選取3人,該3人中成績在90分以上(含90分)的人數(shù)記為,求的分布列和數(shù)學期望.

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【題目】甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標的概率分別是,假設兩人射擊是否擊中目標相互沒有影響,每人每次射擊是否擊中目標相互也沒有影響.

1)求甲、乙兩人各射擊一次均擊中目標的概率;

2)若乙在射擊中出現(xiàn)連續(xù)次未擊中目標則會被終止射擊,求乙恰好射擊次后被終止射擊的概率.

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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)面底面,分別為,中點,

(Ⅰ)求證:∥平面

(Ⅱ)求二面角的余弦值;

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1)求圖中a的值,并求綜合評分的中位數(shù);

2)用樣本估計總體,以頻率作為概率,若在A,B兩塊實驗地隨機抽取3棵花苗,求所抽取的花苗中的優(yōu)質(zhì)花苗數(shù)的分布列和數(shù)學期望;

3)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān).

優(yōu)質(zhì)花苗

非優(yōu)質(zhì)花苗

合計

甲培育法

20

乙培育法

10

合計

附:下面的臨界值表僅供參考.

015

010

005

0025

0010

0005

0001

2072

2706

3841

5024

6635

7879

10828

(參考公式:,其中.)

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【題目】已知橢圓與過其右焦點F1,0)的直線交于不同的兩點AB,線段AB的中點為D,且直線l與直線OD的斜率之積為.

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