Question

已知函數f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac，且邊b所對角為B，試求cosB的取值范圍，并確定此時f（B）的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數,正弦函數的單調性

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（I）利用兩角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函數的單調性即可得出；
（II）由余弦定理和基本不等式的性質、正弦余弦函數的單調性即可得出．

解答： 解：（I）函數f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

=2cosx(

1

2

sinx+

3

2

cosx)-

3

2

=

1

2

sin2x+

2 3 cos2x- 3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin(2x+

π

3

)，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ解得

π

12

+kπ≤x≤

7

12

π+kπ（k∈Z），
可得函數f（x）的單調遞減區(qū)間為[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ](k∈Z)；
（II）由余弦定理可得；cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴

1

2

≤cosB＜1，∴0＜B≤

π

3

，
∴

π

3

＜2B+

π

3

≤π．
∴f(B)=sin(2B+

π

3

)∈[0，1]．

點評：本題考查了兩角和差的正弦公式、倍角公式、正弦余弦函數的單調性、余弦定理、基本不等式的性質，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．