Question

橢圓G：的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（－c，0）、F₂（c，0），M是橢圓上的一點(diǎn)，且滿足
（Ⅰ）求離心率e的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)離心率e取得最小值時(shí)，點(diǎn)N（0，3）到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為求此時(shí)橢圓G的方程；（ⅱ）設(shè)斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為AB的中點(diǎn)，問(wèn)A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過(guò)點(diǎn)的直線對(duì)稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

（1）；（2）(i)所求橢圓方程為，（ⅱ）當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱。

（I）設(shè)M（x₀，y₀）
                ①
又 ②
由②得代入①式整理得
又
解得

（Ⅱ）（i）當(dāng)
設(shè)H（x，y）為橢圓上一點(diǎn)，則

若0
由（舍去）
若b≥3，當(dāng)y=－3時(shí)，|HN|²有最大值2b²+18
由2b²+18=50得b²=16
∴所求橢圓方程為
（ii）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），則由
            ③
又直線PQ⊥直線l   ∴直線PQ方程為
將點(diǎn)Q（x₀，y₀）代入上式得，   ④
由③④得Q
（解1）而Q點(diǎn)必在橢圓內(nèi)部  
由此得

故當(dāng)時(shí)A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱
（解2）∴AB所在直線方程為
由得

顯然1+2k²≠0
而

直線l與橢圓有兩不同的交點(diǎn)A、B ∴△＞0
解得

故當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱。
（ii）另解；設(shè)直線l的方程為y=kx+b
由得

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），則
     ③
又直線PQ⊥直線l   ∴直線PQ方程為
將點(diǎn)Q（x₀，y₀）代入上式得，   ④
將③代入④⑤
∵x₁，x₂是（*）的兩根
⑥
⑤代入⑥得
∴當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱。