Question

（1）求圓心在C（8，-3），且經(jīng)過點M（5，1）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）平面直角坐標(biāo)系中有A（0，1），B（2，1），C（3，4），D（-1，2）四點，這四點能否在同一個圓上？為什么？

Answer 1

分析：（1）由兩點的距離公式，算出半徑r=5，根據(jù)圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式即可寫出所求圓的方程．
（2）設(shè)經(jīng)過A、B、C三點的圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，代入A、B、C的坐標(biāo)可得關(guān)于a、b、r的方程組，解之可得圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=5，再用點D坐標(biāo)加以驗證，可得點D也在經(jīng)過A，B，C三點的圓上，得到本題答案．

解答：解：（1）依題意，可得
圓C的半徑為r=|CM|=

(5-8)2+(1+3)2

=5，
又∵圓心在C（8，-3），∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-8）²+（y+3）²=25；
（2）設(shè)經(jīng)過A、B、C三點的圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²
把A（0，1），B（2，1），C（3，4）的坐標(biāo)分別代入圓的方程，
得

a2+(b-1)2=r2 (a-2)2+(b-1)2=r2 (a-3)2+(b-4)2=r2

，解之得

a=1 b=3 r2=5

∴經(jīng)過A，B，C三點的圓方程為（x-1）²+（y-3）²=5
再將點D的坐標(biāo)（-1，2）代入上面方程的左邊，得（-1-1）²+（2-3）²=5，
所以點D也在經(jīng)過A，B，C三點的圓上，即A，B，C，D這四點在同一個圓上．

點評：本題求經(jīng)過三點的圓，并研究四點共圓的問題，著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩點間的距離公式和點與圓的位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．