已知函數(shù)f(x)=x+xlnx.
(1)求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,1)處的切線方程;
(2)若k∈z,且k(x-1)<f(x)對(duì)任意x>1恒成立,求k的最大值;
(3)當(dāng)n>m≥4時(shí),證明(mnnm>(nmmn
分析:(1)欲求出切線方程,只須求出其斜率即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=e處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.
(2)將原來的恒成立問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值問題,研究 g(x)=
x+xlnx
x-1
區(qū)間(1,+∞)上的最值問題,先求出函數(shù)的極值,研究極值點(diǎn)左右的單調(diào)性,最后確定出最小值,從而得出k的最大值;
(3)由(2)知,g(x)=
x+xlnx
x-1
是[4,+∞)上的增函數(shù),從而有當(dāng)n>m≥4時(shí),
n+nlnn
n-1
m+mlnm
m-1
由此式即可化簡(jiǎn)得到ln(nmnmm)>ln(mmnnn),利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)論.
解答:解:(1)∵f(x)定義域?yàn)椋?,+∞)
f′(x)=lnx+2
∵k=f′(1)=2
∴函數(shù)y=f(x)的在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為:y=2x-1;
(2)∵k(x-1)<f(x)對(duì)任意x>1恒成立
k<
f(x)
x-1
對(duì)任意x>1恒成立,即 k<
x+xlnx
x-1
對(duì)任意x>1恒成立.
g(x)=
x+xlnx
x-1
,
g′(x)=
x-lnx-2
(x-1)2

令h(x)=x-lnx-2(x>1),
h′(x)=1-
1
x
=
x-1
x
>0
,
所以函數(shù)h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
因?yàn)閔(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0,
所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一實(shí)根x0,且滿足x0∈(3,4).
當(dāng)1<x<x0時(shí),h(x)<0,即g'(x)<0,當(dāng)x>x0時(shí),h(x)>0,即g'(x)>0,
所以函數(shù) g(x)=
x+xlnx
x-1
在(1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.
所以 [g(x)]min=g(x0)=
x0(1+lnx0)
x0-1
=
x0(1+x0-2)
x0-1
=x0∈(3,4)

所以k<[g(x)]min=x0∈(3,4).
故整數(shù)k的最大值是3.
(3)證明:由(2)知,g(x)=
x+xlnx
x-1
是[4,+∞)上的增函數(shù),
所以當(dāng)n>m≥4時(shí),
n+nlnn
n-1
m+mlnm
m-1

即n(m-1)(1+lnn)>m(n-1)(1+lnm).
整理,得mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+(n-m).
因?yàn)閚>m,所以mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn,
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn
即ln(nmnmm)>ln(mmnnn).
所以(mnnm>(nmmn
證明2:構(gòu)造函數(shù)f(x)=mxlnx+mlnm-mxlnm-xlnx,
則f'(x)=(m-1)lnx+m-1-mlnm.
因?yàn)閤>m≥4,所以f'(x)>(m-1)lnm+m-1-mlnm=m-1-lnm>0.
所以函數(shù)f(x)在[m,+∞)上單調(diào)遞增,
因?yàn)閚>m,所以f(n)>f(m).
所以mnlnn+mlnm-mnlnm-nlnn>m2lnm+mlnm-m2lnm-mlnm=0.
即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn
即ln(nmnmm)>ln(mmnnn).
所以(mnnm>(nmmn
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求切線上過某點(diǎn)切線方程的斜率,會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,掌握導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,是一道中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
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已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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