Question

（本小題滿分14分）

如圖：某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道，是直角頂點）來處理污水，管道越短，鋪設(shè)管道的成本越低.設(shè)計要求管道的接口是的中點，分別落在線段上。已知米，米，記。

（Ⅰ）試將污水凈化管道的長度表示為的函數(shù)，并寫出定義域；

（Ⅱ）若，求此時管道的長度；

（Ⅲ）問：當取何值時，鋪設(shè)管道的成本最低？并求出此時管道的長度。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ，；

（Ⅱ）時，，；

（Ⅲ）當時，所鋪設(shè)管道的成本最低，此時管道的長度為米。

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)在實際函數(shù)中的運用。

（1），，

由于，，，，所以 ，。

（2）因為時，，

（3）=，設(shè),

則，由于，

構(gòu)造二次函數(shù)，求解最值。

解：（Ⅰ），，

由于，，，。3分

所以 ，……………………………5分

（Ⅱ）時，，；……………10分

（Ⅲ）=，設(shè),

則，由于，

所以 ，在 內(nèi)單調(diào)遞減，

于是當時. 的最小值米……………………13分

答：當時，所鋪設(shè)管道的成本最低，此時管道的長度為米………14分