Question

(本小題滿分16分)

如圖，橢圓(a>b>0)的上、下兩個(gè)頂點(diǎn)為A、B，直線l：，點(diǎn)P是橢圓上異于點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn)，連接AP并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)N，連接PB并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)M，設(shè)AP所在的直線的斜率為，BP所在的直線的斜率為．若橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）求MN的最小值；

（3）隨著點(diǎn)P的變化，以MN為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，

若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，如不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）．

（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．（3）．

【解析】本試題主要考查了橢圓方程的求解，以及直線斜率公式的運(yùn)算和圓的方程的求解的綜合運(yùn)用。

（1）1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414592777526150/SYS201208241459578572734436_DA.files/image006.png">，，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為并且設(shè)橢圓上點(diǎn)，有，

所以 

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414592777526150/SYS201208241459578572734436_DA.files/image013.png">在直線l：上，所以設(shè)，，由方程知，，所以，又由（1）知，所以 

不妨設(shè)，則，則，

運(yùn)用不等式的思想得到最值。

（3）設(shè)，，

則以為直徑的圓的方程為

即，圓過定點(diǎn)，必與無關(guān)，

所以有，解得定點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以，無論點(diǎn)P如何變化，以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)以函數(shù)在實(shí)數(shù)集上有最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414592777526150/SYS201208241459578572734436_DA.files/image006.png">，，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．……………2分

設(shè)橢圓上點(diǎn)，有，

所以．…………4分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414592777526150/SYS201208241459578572734436_DA.files/image013.png">在直線l：上，所以設(shè)，，由方程知，，

所以，……………………………………………………6分

又由（1）知，所以，…………………………………………8分

不妨設(shè)，則，則，

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．…………………………………………10分

（3）設(shè)，，

則以為直徑的圓的方程為……………………………………12分

即，圓過定點(diǎn)，必與無關(guān)，

所以有，解得定點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以，無論點(diǎn)P如何變化，以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)．………………………16分

以函數(shù)在實(shí)數(shù)集上有最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．……………16分