Question

1．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，G、H分別是CD、DA上的點(diǎn)，且DH=$\frac{1}{3}$AD，DG=$\frac{1}{3}$DC，求證：直線EH，F(xiàn)G和BD共點(diǎn)．

Answer 1

分析 由已知得EF與GH平行且不相等，從而E、F、G、H四點(diǎn)共面，且EH∩FG=O，由此利用公理二能證明直線EH，F(xiàn)G和BD共點(diǎn)．

解答 證明：∵在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
G、H分別是CD、DA上的點(diǎn)，且DH=$\frac{1}{3}$AD，DG=$\frac{1}{3}$DC，
∴GH∥AC，且GH=$\frac{1}{3}$AC，
EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}AC$，
∴EF與GH平行且不相等，
∴E、F、G、H四點(diǎn)共面，∴EH∩FG=O，如圖，
∵E，H∈平面ABD，F(xiàn)，G∈平面BDC，平面ABD∩平面BDC=BD，
∴O∈BD，∴直線EH，F(xiàn)G和BD共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三線共點(diǎn)的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．