Question

【題目】在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度， 為答對該題的人數， 為參加測試的總人數．現對某校高三年級120名學生進行一次測試，共5道客觀題．測試前根據對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：

題號	1	2	3	4	5
考前預估難度	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

測試后，從中隨機抽取了10名學生，將他們編號后統計各題的作答情況，如下表所示（“√”表示答對，“×”表示答錯）：

學生編號 題號	1	2	3	4	5
1	×	√	√	√	√
2	√	√	√	√	×
3	√	√	√	√	×
4	√	√	√	×	×
5	√	√	√	√	√
6	√	×	×	√	×
7	×	√	√	√	×
8	√	×	×	×	×
9	√	√	×	×	×
10	√	√	√	√	×

（Ⅰ）根據題中數據，將抽樣的10名學生每道題實測的答對人數及相應的實測難度填入下表，并估計這120名學生中第5題的實測答對人數；

題號	1	2	3	4	5
實測答對人數
實測難度

（Ⅱ）從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，求恰好有1人答對第5題的概率；

（Ⅲ）定義統計量，其中為第題的實測難度， 為第題的預估難度．規(guī)定：若，則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理．判斷本次測試的難度預估是否合理.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據表中數據，估計120人中有人答對第5題．

（Ⅱ）根據古典概型計算得到;

（Ⅲ）根據方差計算公式求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）每道題實測的答對人數及相應的實測難度如下表：

題號	1	2	3	4	5
實測答對人數	8	8	7	7	2
實測難度	0.8	0.8	0.7	0.7	0.2

所以，估計120人中有人答對第5題．

（Ⅱ）記編號為的學生為，從這5人中隨機抽取2人，不同的抽取方法有10種．

其中恰好有1人答對第5題的抽取方法為， ， ， ， ， ，共6種．

所以，從抽樣的10名學生中隨機抽取2名答對至少4道題的學生，恰好有1人答對第5題的概率為．

（Ⅲ）為抽樣的10名學生中第題的實測難度，用作為這120名學生第題的實測難度． ．

因為 ，所以，該次測試的難度預估是合理的．