Question

15．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁D與BC₁夾角的大小是90°；若E、F分別為AB、CC₁的中點(diǎn)，則異面直線EF與A₁C₁夾角的大小是30°．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出B₁D與BC₁夾角的大小和異面直線EF與A₁C₁夾角的大小．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
則B₁（2，2，2），D（0，0，0），B（2，2，0），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-2，-2，-2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，2），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，∴B₁D⊥BC₁，
∴B₁D與BC₁夾角的大小是90°；
∵E（2，1，0），F(xiàn)（0，2，1），A₁（2，0，2），
∴$\overrightarrow{EF}$=（-2，1，1），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-2，2，0），
設(shè)異面直線EF與A₁C₁夾角的大小為θ，
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}|}$|=|$\frac{4+2+0}{\sqrt{6}•\sqrt{8}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=30°．
∴異面直線EF與A₁C₁夾角的大小為30°．
故答案為：90°；30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．