Question

14．已知函數(shù)f（x）=x（ax+b）-lnx（a≥0，b∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若b=a-2，且不存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）≤0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再分類(lèi)討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意，只要求出函數(shù)f（x）_min＞0即可，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，進(jìn)行分類(lèi)討論，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）由f（x）=ax²+bx-lnx，x∈（0，+∞），得$f'（x）=\frac{{2a{x^2}+bx-1}}{x}$．
①當(dāng)a=0時(shí)，$f'（x）=\frac{bx-1}{x}$．
（i） 若b≤0，當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＜0恒成立，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．
（ii） 若b＞0，當(dāng)$0＜x＜\frac{1}$時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)$x＞\frac{1}$時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（0，\frac{1}）$，單調(diào)遞增區(qū)間是$（\frac{1}，+∞）$．
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得2ax²+bx-1=0．
由△=b²+8a＞0得${x_1}=\frac{{-b-\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}，\;{x_2}=\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}$．
顯然，x₁＜0，x₂＞0．
當(dāng)0＜x＜x₂時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)x＞x₂時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（0，\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}）$，單調(diào)遞增區(qū)間是$（\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}，+∞）$．
綜上所述，
當(dāng)a=0，b≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．
當(dāng)a=0，b＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（0，\frac{1}）$，單調(diào)遞增區(qū)間是$（\frac{1}，+∞）$．
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（0，\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}）$，單調(diào)遞增區(qū)間是$（\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}，+∞）$
（2）①當(dāng)a=0時(shí)，b=-2，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，f（1）=-2＜0，不合題意．
②當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）可知，f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$單調(diào)遞減，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上單調(diào)遞增，
所以只需f（x）的最小值為$f（\frac{1}{a}）=a{（\frac{1}{a}）^2}+（a-2）•\frac{1}{a}-ln\frac{1}{a}$=$lna-\frac{1}{a}+1＞0$即可，
令$g（a）=lna-\frac{1}{a}+1$，
則g（a）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
g（1）=0，
所以當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（a）＜0，
當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）＞0，
所以a的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及最值，以及分類(lèi)討論的思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．