Question

求下列各式中的x的值：
（1）ln（x-1）＜1     （2）(

1

3

)1-x -2＜0    （3）a2x-1＞(

1

a

)x-2，其中a＞0且a≠1．

Answer 1

分析：（1）由ln（x-1）＜1=lne，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)以及對數(shù)函數(shù)的定義域可得

x-1＞0 x-1＜e

，由此求得x的范圍．
（2）由 (

1

3

)1-x -2＜0，可得 (

1

3

)1-x＜2，即 3^x-1＜2，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)求出x的范圍．
（3）不等式即 a^2x-1＞（a）^2-x，分0＜a＜1和 a＞1兩種情況，分別求得解集．

解答：解：（1）∵函數(shù)y=lnx 在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，故由不等式 ln（x-1）＜1=lne，可得

x-1＞0 x-1＜e

，所以 1＜x＜e+1．
（2）∵不等式 (

1

3

)1-x -2＜0，即 (

1

3

)1-x＜2，即 3^x-1＜2=3log32．
再由函數(shù)y=3^x 在R上是增函數(shù)可得，x-1＜log₃2，x＜1+log₃2．
（3）a2x-1＞(

1

a

)x-2 即 a^2x-1＞（a）^2-x．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由于y=a^x 在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，故由 a^2x-1＞（a）^2-x 可得 2x-1＜2-x，即x＜1．
當(dāng)a＞1時(shí)，由于y=a^x 在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，故由 a^2x-1＞（a）^2-x 可得 2x-1＞2-x，即x＞1．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．